教辅：高考数学二轮复习考点-三角函数的图象与性质

考点九　三角函数的图象与性质　　　　　　　　　　　　　　　　　 一、选择题 1．(2020·陕西西安中学第四次模拟)为得到函数y＝－sin2x 的图象，可将函数y＝sin的图象(　　) A．向右平移个单位 B．向左平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 答案　A 解析　y＝－sin2x＝cos＝cos，y＝sin＝cos＝cos＝cos，则要得到函数y＝－sin2x的图象，可将函数y＝sin的图象向右平移π－＝个单位． 2．(2020·山东济宁嘉祥县一中考前训练二)若函数f(x)＝sinx＋cosx在[2π，α]上单调递增，则α的最大值为(　　) A．3π B． C． D． 答案　D 解析　由题意可得f(x)＝sin，令2kπ－≤x＋≤2kπ＋，k∈Z，得2kπ－≤x≤2kπ＋，k∈Z，令k＝1，得≤x≤，所以α的最大值为.故选D. 3．(2020·吉林第四次调研测试)函数f(x)＝sin＋asin的一条对称轴方程为x＝，则a＝(　　) A．1 B． C．2 D．3 答案　B 解析　∵f(x)＝sin－acos＝·sin，其中tanφ＝a，函数f(x)的一条对称轴方程为x＝，∴f＝±，∴cos＋acos＝±，化简得a＝. 4．(2020·天津高考)已知函数f(x)＝sin.给出下列结论：
①f(x)的最小正周期为2π；
②f是f(x)的最大值；
③把函数y＝sinx的图象上所有点向左平移个单位长度，可得到函数y＝f(x)的图象． 其中所有正确结论的序号是(　　) A．① B．①③ C．②③ D．①②③ 答案　B 解析　因为f(x)＝sin，所以最小正周期T＝＝2π，故①正确；
f＝sin＝sin＝≠1，故②不正确；
将函数y＝sinx的图象上所有点向左平移个单位长度，得到y＝sin的图象，故③正确．故选B. 5．(2020·山东莱西一中、高密一中、枣庄三中模拟)若f(x)＝sin(x∈[0，π]，ω>0)有零点，值域为M⊆，则ω的取值范围是(　　) A. B． C． D． 答案　D 解析　x∈[0，π]，则ωx－∈，又f(x)有零点，值域为M⊆，故0≤ωπ－≤，解得≤ω≤.故选D. 6．(2020·山东日照一模)已知函数f(x)＝sinωx和g(x)＝cosωx(ω>0)图象的交点中，任意连续三个交点均可作为一个等腰直角三角形的顶点．为了得到y＝g(x)的图象，只需把y＝f(x)的图象(　　) A．向左平移1个单位 B．向左平移个单位 C．向右平移1个单位 D．向右平移个单位 答案　A 解析　如图所示，令f(x)＝sinωx＝g(x)＝cosωx，则tanωx＝1，x＝＋，k∈Z.取靠近原点的三个交点，A，B，C，由△ABC为等腰直角三角形，得＋＝＝4，故ω＝，故f(x)＝sinx，g(x)＝cosx＝sin，故为了得到y＝g(x)的图象，只需把y＝f(x)的图象向左平移1个单位．故选A. 7．(多选)(2020·山东泰安四模)设函数g(x)＝sinωx(ω＞0)向左平移个单位长度得到函数f(x)，已知f(x)在[0,2π]上有且只有5个零点，则下列结论正确的是(　　) A．f(x)的图象关于直线x＝对称 B．f(x)在(0,2π)上有且只有3个极大值点，在(0,2π)上有且只有2个极小值点 C．f(x)在上单调递增 D．ω的取值范围是 答案　CD 解析　依题意得f(x)＝g＝sin＝sin，T＝，如图，对于A，令ωx＋＝kπ＋，k∈Z，得x＝＋，k∈Z，所以f(x)的图象关于直线x＝＋(k∈Z)对称，故A不正确；

对于B，根据图象可知，xA≤2π<xB，所以f(x)在(0,2π)上有3个极大值点，f(x)在(0,2π)上有2个或3个极小值点，故B不正确；
对于D，因为xA＝－＋T＝－＋×＝，xB＝－＋3T＝－＋3×＝，所以≤2π<，解得≤ω<，故D正确；
对于C，因为－＋T＝－＋×＝，由图可知f(x)在上单调递增，因为ω<<3，所以－＝<0，所以f(x)在上单调递增，故C正确．故选CD. 8．(多选)(2020·山东威海三模)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0,0<φ<π)，将y＝f(x)的图象上所有点向左平移个单位，然后纵坐标不变，横坐标缩短为原来的，得到函数y＝g(x)的图象．若g(x)为偶函数，且最小正周期为，则(　　) A．y＝f(x)的图象关于对称 B．f(x)在上单调递增 C．f(x)＝g在上有且仅有3个解 D．g(x)在上有且仅有3个极大值点 答案　AC 解析　函数f(x)＝sin(ωx＋φ)，将y＝f(x)的图象上所有点向左平移个单位，可得y＝sin，再将横坐标缩短为原来的，可得g(x)＝sin，因为函数g(x)的最小正周期为，即＝，解得ω＝2，可得g(x)＝sin，又函数g(x)为偶函数，则＋φ＝＋kπ，k∈Z，即φ＝－＋kπ，k∈Z，当k＝1时，可得φ＝，所以f(x)＝sin，令2x＋＝kπ，k∈Z，得x＝－，k∈Z，当k＝1时，x＝，即函数f(x)的图象关于对称，所以A正确；
当x∈时，<2x＋<，所以函数f(x)在区间上不是单调函数，所以B不正确；
由g(x)＝sin＝sin＝－cos4x，f(x)＝g，可得sin＝－cos2x，－sin2x＋cos2x＝0，－sin＝0，所以2x－＝kπ，k∈Z，x＝＋，k∈Z，又因为x∈，所以x＝，，，所以f(x)＝g在上有且仅有3个解，所以C正确；
由x∈，得4x∈，当4x＝π或4x＝3π，即x＝或x＝时，g(x)取得极大值，所以g(x)在上有且仅有2个极大值点，所以D不正确．故选AC. 二、填空题 9．已知函数f(x)＝sin[2(x＋φ)](φ>0)是偶函数，则φ的最小值是________． 答案　 解析　因为f(x)＝sin(2x＋2φ)是偶函数，所以2φ＝＋kπ，k∈Z，即φ＝＋，k∈Z，又φ>0，故当k＝0时，φ取得最小值. 10．(2020·江苏高考)将函数y＝3sin的图象向右平移个单位长度，则平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是________． 答案　x＝－ 解析　将函数y＝3sin的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的解析式为y＝3sin＝3sin，令2x－＝＋kπ(k∈Z)，得x＝＋(k∈Z)．当k＝－1时，x＝－，当k＝0时，x＝，故与y轴最近的对称轴方程为x＝－. 11．(2020·山东德州一模)若函数f(x)＝sin(ω>0)在上存在唯一极值点，且在上单调，则ω的取值范围为________． 答案　<ω≤ 解析　x∈，则ωx＋∈，故<ω＋≤，解得<ω≤，≥π－＝，故T≥π，ω≤2，即<ω≤2.x∈，则ωx＋∈，故ω＋∈，则πω＋≤，解得ω≤.综上所述，<ω≤. 12．(2020·浙江宁波二模)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的图象关于点对称，关于直线x＝－对称，最小正周期T∈，则T＝________，f(x)的单调递减区间是________． 答案　　(k∈Z) 解析　由于f(x)的最小正周期T∈，ω>0， 所以∈⇒2<ω<4. 由于f(x)的图象关于点对称，关于直线x＝－对称，所以k1，k2∈Z， 两式相加得2φ＝(k1＋k2)π＋，k1，k2∈Z， 由于0<φ<，0<2φ<π，所以2φ＝⇒φ＝. 则ω＋＝k1π⇒ω＝4k1－1，k1∈Z，结合2<ω<4可得ω＝3， 所以f(x)＝sin.所以f(x)的最小正周期为T＝. 由2kπ＋≤3x＋≤2kπ＋，k∈Z，解得＋≤x≤＋，k∈Z，所以f(x)的单调递减区间为(k∈Z)． 三、解答题 13.(2020·山东潍坊模拟)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象如图所示． (1)求f(x)的解析式；

(2)将函数f(x)的图象向右平移个单位长度，得到函数y＝g(x)的图象，设h(x)＝g(x)＋f(x)，求函数h(x)在上的最大值． 解　(1)由题意可得A＝2，最小正周期T＝4×＝π， 则ω＝＝2， 由f＝2sin＝－2，|φ|<， 可得φ＝，所以f(x)＝2sin. (2)由题意可知g(x)＝2sin＝2sin2x， 所以h(x)＝g(x)＋f(x)＝2sin2x＋2sin＝2sin2x＋2sin2xcos＋2cos2xsin＝3sin2x＋cos2x＝2sin. 由x∈可得2x＋∈， 所以函数h(x)在上的最大值为2. 14．已知函数f(x)＝cosx(sinx－cosx)． (1)求f(x)的最小正周期和最大值；

(2)讨论f(x)在区间上的单调性． 解　(1)由题意得f(x)＝cosxsinx－cos2x＝sin2x－(1＋cos2x)＝sin2x－cos2x－＝sin－. 所以f(x)的最小正周期为T＝＝π，最大值为1－. (2)令z＝2x－，则函数y＝sinz的单调递增区间是，k∈Z. 由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，得 －＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z， 设A＝，B＝，易知A∩B＝，所以当x∈时，f(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减． 一、选择题 1．(2020·山东枣庄二调)已知函数f(x)＝sin，则下列结论正确的是(　　) A．f(x)的最小正周期为2π B．f(x)的图象关于点对称 C．f(x)在上单调递增 D.是f(x)的一个极值点 答案　D 解析　∵f(x)＝sin，∴最小正周期为T＝＝π，A错误；
f＝sin＝，∴不是函数f(x)图象的对称中心，B错误；
当x∈时，2x－∈，f(x)单调递减，C错误；
f＝sin＝1是函数的最大值，∴是f(x)的一个极值点，D正确．故选D. 2．若直线x＝aπ(0<a<1)与函数y＝tanx的图象无公共点，则不等式tanx≥2a的解集为(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　因为直线x＝aπ(0<a<1)与函数y＝tanx的图象无公共点，所以a＝，故tanx≥2a即tanx≥1的解集为. 3．(2020·全国卷Ⅰ)设函数f(x)＝cos在[－π，π]的图象大致如图，则f(x)的最小正周期为(　　) A. B． C． D． 答案　C 解析　由图可得，函数图象过点，所以cos＝0.又是函数f(x)的图象与x轴负半轴的第一个交点，所以－·ω＋＝－，解得ω＝.所以函数f(x)的最小正周期为T＝＝＝.故选C. 4．(2020·山东烟台适应性练习一)将函数f(x)＝cosx的图象向右平移个单位长度，再将各点的横坐标变为原来的(ω>0)，得到函数g(x)的图象，若g(x)在上的值域为，则ω的取值范围为(　　) A. B． C. D． 答案　A 解析　将函数f(x)＝cosx的图象向右平移个单位长度，可得y＝cos的图象；
再将各点的横坐标变为原来的(ω>0)，得到函数g(x)＝cos的图象．若g(x)在上的值域为，此时，ωx－∈，∴0≤－≤，求得≤ω≤，故选A. 5．(2020·湖南湘潭三模)已知函数f(x)＝2sinωx(ω>0)在x∈[a,2](a<0)上的最大值为1且单调递增，则2－a的最大值为(　　) A．5 B．6 C．7 D．8 答案　D 解析　由题意可知，[a,2]⊆，f(2)＝2sin2ω＝1,2ω＝，ω＝，则amin＝－6，(2－a)max＝8.故选D. 6．(2020·山东日照二模)已知函数f(x)＝sin，若方程f(x)＝的解为x1，x2(0<x1<x2<π)，则sin(x1－x2)＝(　　) A．－ B．－ C．－ D．－ 答案　B 解析　函数f(x)＝sin的对称轴满足2x－＝kπ＋(k∈Z)，即x＝＋(k∈Z)，令k＝0可得函数在区间(0，π)上的一条对称轴为x＝，结合三角函数的对称性可知x1＋x2＝，则x1＝－x2，sin(x1－x2)＝sin＝sin＝cos.由题意，sin＝，且0<x1<x2<π，<x1<<x2<，<2x2－<π，由同角三角函数基本关系可知，cos＝－.故选B. 7．(多选)(2020·山东济南二模)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)，f＝0，f(x)≤|f|恒成立，且f(x)在区间上单调，则下列说法正确的是(　　) A．存在φ，使得f(x)是偶函数 B．f(0)＝f C．ω是奇数 D．ω的最大值为3 答案　BCD 解析　f＝0，f(x)≤|f|，则－＝＝T，k∈N，故T＝，ω＝2k＋1，k∈N，f＝0，则f＝sin＝0，故－ω＋φ＝kπ，φ＝ω＋kπ，k∈Z，当x∈时，ωx＋φ∈，k∈Z，f(x)在区间上单调，故－＝≤，故T≥，即ω≤8，0<≤，故≤，故w≤3，综上所述，ω＝1或ω＝3，故C，D正确；
因为ω＝1或ω＝3，故φ＝＋kπ或φ＝＋kπ，k∈Z，所以f(x)不可能为偶函数，A错误；
由x＝为函数f(x)的对称轴，f(0)，f是关于x＝对称的两点的函数值，得f(0)＝f，B正确．故选BCD. 8．(多选)(2020·山东省实验中学6月模拟)已知f(x)＝1－2cos2(ω>0)，下面结论正确的是(　　) A．若f(x1)＝1，f(x2)＝－1，且|x1－x2|的最小值为π，则ω＝2 B．存在ω∈(1,3)，使得f(x)的图象向右平移个单位长度后得到的图象关于y轴对称 C．若f(x)在[0,2π]上恰有7个零点，则ω的取值范围是 D．若f(x)在上单调递增，则ω的取值范围是 答案　BCD 解析　依题意f(x)＝－cos，ω>0，－1≤f(x)≤1.对于A，若f(x1)＝1，f(x2)＝－1，且|x1－x2|的最小值为π，则＝π⇒＝π⇒ω＝1，故A错误；
对于B，当ω＝2时，f(x)＝－cos，向右平移个单位长度后得到y＝－cos＝－cos4x，其为偶函数，图象关于y轴对称，故B正确；
对于C,0≤x≤2π，则≤2ωx＋≤4ωπ＋，若f(x)在[0,2π]上恰有7个零点，则≤4ωπ＋<，解得≤ω<，故C正确；
对于D，－≤x≤，则－＋≤2ωx＋≤＋，若f(x)在上单调递增，则即由于k∈Z，ω>0，故k＝0,0<ω≤，所以D正确．故选BCD. 二、填空题 9．(2020·北京高考)若函数f(x)＝sin(x＋φ)＋cosx的最大值为2，则常数φ的一个取值为________． 答案　 解析　因为f(x)＝cosφsinx＋(sinφ＋1)cosx＝sin(x＋θ)，且f(x)的最大值为2，所以＝2，解得sinφ＝1，故可取φ＝. 10．(2020·山东聊城一模)若函数f(x)＝sinx＋cosx在[0，a]上单调递增，则实数a的取值范围为________． 答案　 解析　由题意知，f(x)＝sinx＋cosx＝sin，所以－＋2kπ≤x＋≤＋2kπ，k∈Z，解得－＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z，令k＝0可得，－≤x≤，所以为函数f(x)的一个单调递增区间，因为函数f(x)在[0，a]上单调递增，所以0<a≤. 11．(2020·河北衡水高三质量检测一)定义在区间[0,3π]上的函数y＝sin2x的图象与y＝cosx的图象的交点个数是________． 答案　7 解析　由sin2x＝cosx⇒cosx＝0或sinx＝，因为x∈[0,3π]，所以x＝，，，，，，，共7个． 12.(2020·石家庄二中质量检测一)若函数f(x)的导函数f′(x)＝Acos(ωx＋φ)，f′(x)的部分图象如图所示，g(x)＝f，当x1，x2∈时，则|g(x1)－g(x2)|的最大值为________． 答案　 解析　由图象可得A＝2，×＝－，解得ω＝2. ∴f′＝2cos＝－2，又|φ|<，解得φ＝. ∴f′(x)＝2cos，∴f(x)＝sin＋c(c为常数)． g(x)＝f＝sin2x＋c. 当x∈时，2x∈，sin2x∈.当x1，x2∈时，则|g(x1)－g(x2)|＝|sin2x1－sin2x2|≤1－＝.因此当x1，x2∈时，|g(x1)－g(x2)|的最大值为. 三、解答题 13．(2020·海南中学高三摸底)已知a＝(2sinx，cos2x)，b＝(cosx，2)，f(x)＝a·b. (1)求f(x)的最小正周期及单调递减区间；

(2)求函数f(x)在区间上的最大值和最小值． 解　(1)f(x)＝a·b＝2sinxcosx＋2cos2x＝sin2x＋cos2x＋1＝2sin＋1，∴f(x)的最小正周期为T＝＝π. 由＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，得 ＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z， ∴f(x)的单调递减区间为，k∈Z. (2)∵x∈，∴2x＋∈， 当2x＋＝，即x＝时，函数f(x)取得最小值，为2sin＋1＝0；

当2x＋＝，即x＝时，函数f(x)取得最大值，为2sin＋1＝3. 故函数f(x)在区间上的最大值为3，最小值为0. 14．已知函数y＝f(x)＝sin(2x＋φ)－cos(2x＋φ)(0<φ<π)． (1)若φ＝，在给定的坐标系中，画出函数y＝f(x)在[0，π]上的图象；

(2)若y＝f(x)是偶函数，求φ；

(3)在(2)的前提下，将函数y＝f(x)的图象向右平移个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标变为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，求g(x)在[0，π]上的单调递减区间． 解　(1)当φ＝时， f(x)＝sin－cos＝sin2x＋cos2x－cos2x＋sin2x＝sin2x＋cos2x＝2sin. 列表：
x 0 π y 1 2 0 －2 0 1 函数y＝f(x)在区间[0，π]上的图象如图：
(2)f(x)＝sin(2x＋φ)－cos(2x＋φ)＝2sin. 因为f(x)为偶函数，则y轴是f(x)图象的对称轴， 所以φ－＝kπ＋(k∈Z)，即φ＝kπ＋(k∈Z)， 又因为0<φ<π，所以φ＝. (3)由(2)知f(x)＝2sin＝2cos2x， 将f(x)的图象向右平移个单位后，得到f的图象，再将横坐标变为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数g(x)＝f的图象， 所以g(x)＝f＝2cos. 当2kπ≤－≤2kπ＋π(k∈Z)，即4kπ＋≤x≤4kπ＋(k∈Z)时，g(x)单调递减，因此g(x)在[0，π]上的单调递减区间为.